6.3. Общее резервирование замещением
6.4. Надежность системы при раздельном резервировании и с целой кратностью по всем элементам
6.5. Смешанное резервирование неремонтируемых систем
7. Надежность восстанавливаемых систем
7.1. Надежность восстанавливаемой одноэлементной системы
7.2. Надежность нерезервированной системы с последовательно включенными восстанавливаемыми элементами
7.3. Надежность восстанавливаемой дублированной системы
 

6.3. Общее резервирование замещением

В электроснабжении широко используется метод повышения надежности системы за счет использования резервной цепи, находящейся в ненагруженном состоянии. Последняя автоматически включается при отказе основной цепи. Опираясь на результаты, описанные в подразделе 6.1, проанализируем только вариант дублирования замещением, так как в большинстве случаев на практике оказывается достаточно одной резервной цепи (в трансформаторных подстанциях, линиях электропередачи, кабельных линиях).

Предположим, что приборы, обнаруживающие отказ основной цепи, и выключатели, отключающие отказавшую цепь и включающие резервную, также абсолютно надежны. Резервная ненагруженная цепь, находящаяся в режиме ожидания, своих характеристик не меняет и работоспособна. Каждая из цепей состоит из n последовательных элементов (рис. 6.7). Поток отказов простейший.

Учитывая, что анализируемая система (схема) приобретает вид, изображенный на рис. 6.8.

Рассмотрим события, которые могут произойти с системой на отрезке времени t. Проанализируем возможные гипотезы.

1. Основная цепь отработала успешно все время t и резервную цепь (1) включать не потребовалось. Вероятность этого режима работы системы - Р_о(t).
1. Основная цепь отработала только отрезок t и отказала. При этом сразу же включилась резервная цепь и успешно проработала до конца времени t с вероятностью безотказной работы Р₁(t - t ).

В соответствии с формулой полной вероятности [11] вероятность безотказной работы анализируемой системы в течение времени t определяется по выражению:

где P_1/0(t, t ) - вероятность безотказной работы цепи "1" в течение времени t при условии, что отказ основной цепи "0" произошел в момент t (на интервале D t ). Исходя из условия, что резервная цепь "1" до момента включения своей надежности не теряет, то есть работоспособна, а отказ основной цепи с последующим мгновенным включением резервной цепи может произойти на интервале от 0 до t

Таким образом, учитывая обе гипотезы, на основе формулы полной вероятности запишем выражение вероятности безотказной работы системы

Зная, что

получим

а интенсивность отказов системы

Используя выражение (6.18) после некоторых преобразований, получим

На рис. 6.10 изображен график интенсивности отказов системы, дублированный по способу замещения. Из формулы (6.20) видно, как эта функция монотонно возрастает от до .

В первоначальный момент времени интенсивность отказов дублированной системы, очень низкая . Если такую дублированную систему включить на длительный срок, то выигрыш в надежности уменьшается. Это легко объясняется тем, что с увеличением времени возрастает вероятность отказа основной цепи. При ее отказе вводится в работу резервная цепь с интенсивностью отказов l₀.

Сравнивая графики l (t) для систем нагруженного дублирования (рис. 6.5), и дублирование замещением (рис. 6.10), видим, что они похожи друг на друга: на начальном этапе работы надежность их высока. На практике важно знать какой из схем следует отдать предпочтение. Для этого построим график, на котором изображены кривые P(t) системы при различных способах дублирования (рис. 6.11).

На интервале обе схемы, нагруженного дублирования и дублирования замещением, при одном и том же оборудовании по уровню надежности практически идентичны. В практических условиях эту разницу ощутить очень трудно. Так, если средняя наработка до отказа основной цепи T_o = 5 годам и время рабочего цикла до планового отключения системы составляет t = 0,25 года (один раз в квартал), то 1/год. При этом вероятность безотказной работы схемы нагруженного дублирования Р_(0,25) = 0,9987, а вероятность безотказной работы схемы дублирования замещением составит Р_(0,25) = 0,999.

В этих условиях выбор схемы включения системы может определить экономический фактор. К примеру, в схеме электроснабжения потребителя используется два кабеля из расчета
100%-го резерва. В начале и конце каждой цепи включены выключатели, отключающие соответствующий отказавший (пробитый) кабель с обеих сторон. При схеме нагруженного дублирования потеря мощности в кабелях составит

где i - ток потребителя; R - сопротивление цепи одного кабеля.

В схеме дублирования замещением , то есть потери мощности в два раза больше. Таким образом, при практически одинаковом значении вероятностей безотказной работы обоих схем в пределах выбранного цикла наработки до планового отключения, вторая схема дублирования замещением экономически не выгодна.

В заключение отметим, что если возникнет необходимость оценки надежности системы, включенной по схеме общего резервирования замещением с целой кратностью, при m > 1 (см. рис. 6.12), то следует пользоваться расчетными формулами [13, 15]:

где 

Предположим система имеет три резервных цепи (m = 3), 1/ч. Тогда для t = 1000 часам

Итак,

6.4. Надежность системы при раздельном резервировании и с целой кратностью по всем элементам

Расчетная схема надежности для этого случая изображена на рис. 6.13.

Отказ этой системы может произойти при отказе любого блока. Совпадение работоспособных состояний n блоков системы гарантирует работоспособное состояние системы. Следовательно, если известны вероятности безотказной работы каждого из блоков, то вероятность безотказной работы системы выражается формулой

Воспользуемся результатом расчетов в подразд. 6.1 (см. рис. 6.2). При преобразовании схемы (рис. 6.2) в более удобную схему (рис. 6.14) вероятность безотказной работы каждой из цепей определяется по формуле (6.1). Для элементов схемы (рис. 6.14) принято:

Сравнивая структуру одного блока схемы по рис. 6.13 и 6.14 видим, что они идентичны. Следовательно, вероятность безотказной работы системы при раздельном резервировании с целой кратностью определится по выражению произведения вероятностей безотказной работы блоков:

где - интенсивность отказов основного элемента -го блока; выражение в фигурных скобках - вероятность безотказной работы -го блока.

Среднее время наработки до отказа соответственно найдется по выражению

При равнонадежных элементах и одинаковой кратности их резервирования по всем блокам [13, 15] расчетные выражения оценки важнейших показателей надежности такой системы примут вид:

где = const для всех элементов системы.

где .

6.5. Смешанное резервирование неремонтируемых систем

На практике очень часто приходится повышать надежность отдельных элементов (объектов) системы различными способами резервирования, руководствуясь не только задачами надежности, но и экономическими задачами. Этот способ резервирования проанализируем на конкретном примере. Пусть задана схема (система) электроснабжения потребителя (см. рис. 6.15), собранная по основной схеме (одноцепная схема электроснабжения).

Такая система не обеспечивает требуемого уровня надежности электроснабжения потребителя за заданное время t. По одному из вариантов повышения надежности предлагается повысить надежность системы поблочно: в блоке кабелей используется нагруженное дублирование, на трансформаторной подстанции - дублирование замещением (см. рис. 6.16) в блоке ВЛ - нагруженное дублирование. Предполагается, что надежность выключателей значительно выше ВЛ, кабелей и трансформаторов. Принимаем вероятность безотказной работы выключателей равной единице. Резервирование ВЛ выполнено элементами с разными показателями. Требуется составить расчетное выражение по оценке надежности системы электроснабжения.

Сформулируем понятие отказа. Данная система будет работоспособна, если совпадут работоспособные состояния всех трех блоков: ВЛ, трансформаторной подстанции и блока кабелей. Расчетная схема представлена на рис. 6.17. Следовательно, вероятность безотказной работы этой системы

где ; .

Поскольку в блоке 1 и имеют разные характеристики надежности, то вероятность безотказной работы этого блока по стандартной формуле (6.13) определять нельзя. Следует воспользоваться другими формулами. Блок 1 откажет, если совпадут отказы обоих цепей:

следовательно

Таким образом,

а средняя наработка до отказа

Сложные технические объекты (системы), рассчитанные на длительный срок службы, создаются, как правило, ремонтируемыми. В разделе 2 дано толкование основных показателей надежности восстанавливаемых объектов (элементов): средняя наработка на отказ; параметр потока отказов; среднее время восстановления; интенсивность восстановления; коэффициенты готовности и оперативной готовности. В данном разделе рассматривается методика анализа надежности восстанавливаемых систем при различных схемах включения элементов.

Переход системы из неработоспособного (предельного) состояния в работоспособное осуществляется с помощью операций восстановления или ремонта. К первым, в основном, относятся операции идентификации отказа (определение его места и характера), замены, регулирования, заключительных операций контроля работоспособности системы в целом. Переход системы из предельного состояния в работоспособное осуществляется с помощью ремонта, при котором происходит восстановление ресурса системы в целом. Рассмотрим, к примеру, вакуумный выключатель. Вакуумная камера, не подлежащая восстановлению, при отказе заменяется исправной, то есть восстановление работоспособности выключателя происходит путем замены отказавшей камеры. При отказе в том же выключателе электромагнитного (или пружинного) привода восстановление работоспособности выключателя может производиться путем ремонта привода или замены его исправным. В обоих случаях требуется произвести регулировку привода и проверить функционирование выключателя в целом, осуществив контрольные операции "включить"-"отключить".

При анализе используем ряд наиболее часто вводимых допущений.

1. Поток отказов в системе простейший, то есть выполняются требования ординарности, стационарности и отсутствия последствия (w = l = const), см. 2.1.5.
2. Поток восстановлений простейший, то есть , см. 2.3.2.
3. Восстановление происходит путем ремонта или замены с последующей настройкой и проверкой работоспособности или исправности системы за одно и то же время .

Данная система с интенсивностью l стремится принять состояние отказа, а с интенсивностью m - перейти в работоспособное состояние.

В табл. 7.1 даны заводские параметры l и m для силовой высоковольтной аппаратуры.

Устройство (элемент)	Параметр  потока  отказов l ,  1/год	Среднее  время  восстанов-ления , ч	Интенсив-ность восстановления m , 1/ч.
Трансформатор силовой, U1н = 110 кВ	0,015	100
Выключатель масляный,  U1н = 110 кВ	0,02	20
Выключатель масляный,  Uн = 35 кВ	0,015	10
Разъединитель,  Uн = 35...220 кВ	0,01	2
Отделитель,  Uн = 110-220 кВ	0,03	10
Короткозамыкатель,  Uн = 110-220 кВ	0,02	10

Обозначим устойчивые состояния системы индексами:

1 - отказ, то есть система находится в состоянии восстановления с интенсивностью восстановления m = const;

0 - работоспособное состояние с параметром потока отказов
w = const, w =l .

Для анализируемой системы с учетом принятых допущений возможны четыре вида перехода из состояния в момент времени t в состояние в момент времени (t + D t):

Указанные переходы можно представить в виде графа перехода состояний системы с восстановлением (рис. 7.2).
 
 

Графу перехода состояний [13] соответствует матрица переходных вероятностей 2 х 2:

Диагональные элементы этой матрицы соответственно определятся как вероятность безотказной работы на отрезке Dt:

и вероятность продолжения восстановления системы на отрезке Dt :

Воспользуемся формулой разложения функции в ряд [11]:

В высоконадежных элементах l<1/ч, тогда при разложении в ряд функции Р₀₀(D t), сохраняя высокую точность расчета можно ограничиться только двумя первыми членами ряда. Пусть l= 1/час, Dt = 1 час, тогда

Таким образом, запишем

Соответственно

Из свойств матрицы следует, что сумма элементов каждой строки матрицы равна единице, как сумма вероятностей появления несовместимых составляющих полную группу событий [13], откуда следует:

Для составления уравнений вероятностей состояний системы следует записать формулу полной вероятности для каждого столбца матрицы [11, 13, 21]:

- для первого столбца;

   - для второго столбца,

где P₀(t) - вероятность нахождения системы в нулевом (работоспособном) состоянии в момент времени t; P₁(t) - вероятность нахождения системы в состоянии "1" (отказа) в момент времени t.

Используем запись производной функции f(x):

и по аналогии с этим выражением для нашего случая запишем:

В эти выражения подставим раскрытые формулы полных вероятностей и , произведем соответствующие преобразования и получим систему двух дифференциальных уравнений относительно вероятностей пребывания системы в состояниях "0" и "1":

При начальных условиях Р₀(t = 0) = 1; Р₁(t = 0) = 0, в начальный момент времени (t = 0) восстанавливаемая система работоспособна - находится в состоянии "0". Решение дифференциальных уравнений дает

Вероятность работоспособного состояния системы в момент времени t представляет собой функцию готовности G(t). Функция готовности - это вероятность работоспособного состояния восстанавливаемой системы в определенный момент времени t. Этот показатель является комплексным показателем надежности, оценивающим два свойства системы - безотказность и ремонтопригодность. Заметим, что G(t) дает оценку не за весь период от 0 до t, а только в заданный момент времени t, поскольку до этого система могла находиться как в работоспособном (0), так и в неработоспособном (1) состояниях.

На рис. 7.3 построен график: при .

Предположив l = const, можно наглядно увидеть насколько повысится надежность системы за счет увеличения m (сокращения времени восстановления ) для определенного времени t. Например, при увеличении m в десять раз для момента lЧ t =1надежность повысится с
G(t) = 0,41 до G(t) = 0,95. Для высоконадежных систем, к примеру, трансформатора, когда: l < 1/ч, m > 1/ч, оценку надежности целесообразно определять за год эксплуатации. В этом случае удобно пользоваться коэффициентом готовности.

Определим предельное значение G(t)по выражению (7.3):

Асимптотическое значение функции готовности при t (r) Ґ и есть коэффициент готовности.

Таким образом, коэффициент готовности представляет собой вероятность того, что система окажется работоспособной в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых использование системы по назначению не предусматривается.

Пример. Имеется восстанавливаемая система, у которой параметр потока отказов l = 1/ч = const, средняя интенсивность восстановления 1/ч. Определить, на сколько повысится надежность этой системы за счет более высокой организации работы ремонтного персонала, если интенсивность восстановления системы повысилась вдвое (сократилось вдвое время восстановления).

Решение.ч; 50 ч. Коэффициент готовности системы до улучшения организации труда ремонтного персонала составлял

При улучшенной организации труда

По сумме затрат, связанных с улучшением организации труда и экономического эффекта от повышения надежности (улучшения ремонтопригодности), можно сделать вывод о целесообразности такого способа повышения надежности системы.

7.2. Надежность нерезервированной системы с последовательно включенными восстанавливаемыми элементами

Система, состоящая из N последовательных восстанавливаемых элементов, отказывает, когда отказывает любой из элементов системы. Предполагаются простейшие потоки отказов и восстановлений . Как показано в [15, 19], при заданных допущениях и известных значениях коэффициентов готовности каждого из последовательно включенных элементов , коэффициент готовности системы определяется по выражению

и соответственно при заданных , 

Пример. Восстанавливаемая система состоит из трех последовательно включенных элементов с параметрами надежности:
= 0,6; = 0,8; = 0,7. Известно, что .

Определить коэффициент надежности.

Решение. Подставив заданные значения коэффициентов готовности в выражение К_Г системы, получим

Здесь же отметим, что в расчетной практике нередко пользуются формулой вероятности безотказной работы неремонтируемой системы с основным соединением элементов, когда

В этом случае , что, как видим, сопряжено с грубой ошибкой. Произведение вероятностей безотказной работы элементов неремонтируемой системы есть математическая оценка факта совпадения работоспособного состояния трех, составляющих систему невосстанавливаемых элементов, то есть работоспособного состояния системы. Произведение коэффициентов готовности ремонтируемых элементов факта совпадения работоспособных состояний элементов не отражает [19].

7.3. Надежность восстанавливаемой дублированной системы

Рассмотрим систему, для обеспечения надежности которой используется дублирование: основной системе добавляется параллельно такая же система. В обеих системах (цепях) параметры потоков отказов одинаковы, l = const, такая же картина и для потока восстановлений, то есть m = const. Такая дублированная система может находиться в трех состояниях:

"0" - обе системы (цепи) работоспособны;

"1" - одна цепь восстанавливается, другая работоспособна;

"2" - обе цепи восстанавливаются. С точки зрения выполнения функциональных задач, возложенных на систему, состояние "2" соответствует отказу. У этой системы возможны семь видов перехода из состояния в момент времени t в состояние в момент времени t + D t:

Указанные переходы изображены на рис. 7.5 в виде графа переходов состояний.

Графу переходов соответствует матрица переходных вероятностей . Крайние элементы побочной диагонали матрицы имеют порядок 0(Dt), так как по исходному предположению поток отказов в системе простейший, и время восстановления распределено по экспоненциальному закону. Согласно простейшему потоку в первой строке матрицы исключается ситуация, когда за время Dt система может перейти из состояния "0" в состояние "2", Р₀₂(D t) = 0. Рассуждая аналогично, по третьей строке матрицы запишем Р₂₀(D t) = 0. При простейшем потоке система за время Dt может из состояния "0" с вероятностью Р₀₁(D t) перейти в состояние "1" или с вероятностью Р₀₀(D t) остаться в состоянии "0". Точно такая же картина соответствует состоянию "2". С вероятностью Р₂₁(D t) система может перейти в состояние "1" (одна цепь восстановится) или с вероятностью Р₂₂(D t) останется пребывать в состоянии "2" (обе цепи неработоспособны - состояние отказа). Элементы первой строки матрицы переходных вероятностей зависят от режима использования резервной цепи. Так при нагруженном резерве, работающих обеих цепях, интенсивность потока отказов равна 2 l , а при ненагруженном - l (ненагруженная цепь всегда готова к работе и своих характеристик не меняет,l= const). Поэтому

где у - коэффициент, учитывающий состояние резерва (у = 0 при ненагруженном режиме и у = 1 при нагруженном).
Используя разложение степенной функции в ряд, с учетом приближения суммы отброшенных членов ряда к нулю, запишем

С учетом того, что для первой строки матрицы

получим

Элементы второй строки матрицы переходных вероятностей (7.5) соответственно запишутся так:

Элементы третьей строки анализируемой матрицы, с учетом количества ремонтных бригад и многократного восстановления отказавших цепей, соответственно определятся так:

где r - число ремонтных бригад (r = 1 или r = 2).

При дублировании с восстановлением возможны шесть вариантов задач анализа надежности такой системы:

1) система с нагруженным резервом до первого отказа (у = 1, r = 0);

2) система с ненагруженным резервом до первого отказа (у = 0, r = 0);

3) многократно восстанавливаемая система с нагруженным резервом и одной ремонтной бригадой (у = 1, r = 1);

4) многократно восстанавливаемая система с нагруженным резервом и двумя ремонтными бригадами (у = 1, r = 2);

5) многократно восстанавливаемая система с ненагруженным резервом и двумя ремонтными бригадами (у = 1, r = 2);

6) многократно восстанавливаемая система с ненагруженным резервом и одной ремонтной бригадой (у = 0, r = 1).

Для определения Р₀(t), Р₁(t), необходимо составить и решить систему трех дифференциальных уравнений

где - постоянные коэффициенты.

Для этого на основе свойств столбцов матрицы необходимо записать выражения формул полных вероятностей Р₀(t + D t), Р₁(t + D t), Р₂(t + D t), затем записать производные для выражений вероятностей нахождения системы в состояниях "0", "1", "2" и свести их в систему уравнений:

Формулы полных вероятностей запишутся на основе матрицы (7.5) соответственно:

по первому столбцу 

по второму столбцу ;

по третьему столбцу.

Подставив в эти выражения соответствующие значения переходных вероятностей, получим систему из трех дифференциальных уравнений (7.15) с четырьмя постоянными коэффициентами l , m , r, у.

Определение искомых вероятностей пребывания системы в состояниях "0", "1" и "2" в момент времени t производится при следующих начальных условиях: Р₀(t = 0) = 1; Р₁(t = 0) = 0; Р₂(t = 0) = 0, то есть система первоначально включается в работу с обоими исправными цепями. Решение системы (7.15) подробно изложено в специальной литературе, например в [13]. Искомое выражение функции готовности анализируемой системы при найденных значениях Р₀(t), Р₁(t), Р₂(t) на основе известного свойства удобнее записать в виде:

Анализируемая система получается высоконадежной. Даже в нерезервированной восстанавливаемой системе при 
, и значение этой функции быстро приближается к коэффициенту готовности. В связи со сказанным, оценку надежности ответственных систем, рассчитанных на длительный срок эксплуатации, целесообразно производить с помощью коэффициента готовности.

Используя данные [13], запишем коэффициенты готовности дублированной системы с многократным восстановлением с одной (r = 1) и двумя (r = 2) ремонтными бригадами:

На рис. 7.6 представлены графики коэффициента готовности для различных схем использования резерва и количества ремонтных бригад.

Из графика видно, что введение резервирования в восстанавливаемую систему дает существенное приращение надежности системы при относительно невысокой надежности основной цепи. К примеру, при заметен прирост надежности даже при введении второй ремонтной бригады (r = 2). Но по мере роста надежности исходных цепей эффект от введения второй бригады снижается, а при на графике уже невозможно увидеть различия значений коэффициента готовности не только при изменении количества ремонтных бригад, но и при переходе со схемы нагруженного дублирования к дублированию замещением. Так при отношение значения коэффициента готовности схемы дублированной замещением к значению коэффициента готовности схемы нагруженного дублирования, при одной ремонтной бригаде в обоих вариантах равно

Например, в высоковольтной электроустановке с показателями безотказности и ремонтопригодности Т = 20000 ч, t_в =100 ч (), использование схемы нагруженного дублирования повышает надежность установки до а при дублировании замещением до .

Таким образом, при относительно высоком уровне надежности исходной системы (схемы) выигрыш в надежности при переводе схемы с режима у = 1 на режим у = 0 ощутимого результата не дает. При эксплуатации, например двухтрансформаторной подстанции, когда средняя интенсивность отказов (параметр потока отказов) одной трансформаторной цепи l < 0,2 1/год, интенсивность восстановления m > 0,01 1/ч, () схема включения резервного трансформатора подстанции (нагруженное дублирование или дублирование замещением) должна определяться по фактическому значению потери мощности в трансформаторах, а не по уровню надежности. Как известно, потеря мощности в трансформаторе

где - потеря мощности в магнитной системе (в стали магнитопровода) трансформатора и от нагрузки не зависит; - потеря мощности в меди (алюминии) обмоток трансформатора и зависит от квадрата тока.

Выбирать необходимо такую схему включения трансформаторов, которая связана с меньшей потерей мощности. Если подстанция имеет в течение суток нагрузку то высокую, то низкую в четко выраженные интервалы времени, то возникает экономическая целесообразность часто изменять схему включения трансформаторов. Расчеты показывают, что в современных трансформаторах напряжением 35; 10,5; 6,3 кВ и мощностью до 10 тыс. кВА, при нагрузке подстанции, превышающей 0,7 мощности одного трансформатора, экономически выгодно переходить на схему нагруженного дублирования (режим у = 1). Для обеспечения такого режима работы подстанции необходимы циклостойкие выключатели (например вакуумные), способные переключаться под рабочей нагрузкой тысячи раз [14]. Это особенно характерно для подстанций, где преобладает коммунально-бытовая нагрузка, при которой ярко выражены часы максимальной нагрузки (обычно с 7.00 до 9.00 и с 18.00 до 21.00 часа местного времени). В оставшееся время суток нагрузка многократно снижается, и тогда выгодно включать только один трансформатор (режим у = 0). В связи с этим следует отметить, что в установках, где часто меняется нагрузка в широком диапазоне особо эффективны будут тиристорные выключатели рабочих токов, у которых нет технических ограничений по количеству операций (циклов) "включить"-"отключить".

Такие высоковольтные восстанавливаемые дублированные установки, как кабельные линии и воздушные линии электропередачи должны работать по схеме нагруженного дублирования. При этом, как это было показано выше, достигается экономический эффект от снижения потери энергии, и сохраняется высокая надежность электропередачи.